Задание 4. Докажите, что для любых $x,y$ выполнено неравенство: а) $x^2-2x+2>0$; б) $4x^2+y^2-4x+2y+3>0$; в) $x^4-x^3+3x^2-2x+2>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 4. Докажите, что для любых $x,y$ выполнено неравенство: а) $x^2-2x+2>0$; б) $4x^2+y^2-4x+2y+3>0$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

$x^2-2x+2=(x-1)^2+1$. Квадрат неотрицателен, значит выражение не меньше 1 и строго положительно.
Свернём в квадраты: $4x^2-4x=(2x-1)^2-1$, а $y^2+2y=(y+1)^2-1$. Тогда выражение равно $(2x-1)^2+(y+1)^2+1>0$.
Сгруппируем: $x^4-x^3+3x^2-2x+2=(x^2-\frac{x}{2})^2+\frac{11}{4}x^2-2x+2$. Последние три слагаемых равны $\frac{11}{4}(x-\frac4{11})^2+\frac{18}{11}$, поэтому исходное выражение строго положительно.

Задание 4. Докажите, что для любых \(x,y\) выполнено неравенство: а) \(x^2-2x+2>0\); б) \(4x^2+y^2-4x+2y+3>0\); в) \(x^4-x^3+3x^2-2x+2>0\).