Задание № 3. Стороны треугольника равны 5 и 10, а угол между ними равен 60°. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите её радиус R.

Пусть стороны длиной 5 и 10 образуют угол 60°, а третья сторона равна \(c\).

1. По теореме косинусов: \(c^2=5^2+10^2-2\cdot5\cdot10\cdot\cos60^\circ=75\), значит \(c=5\sqrt3\).
2. Площадь треугольника: \(S=\frac12\cdot5\cdot10\cdot\sin60^\circ=\frac{25\sqrt3}{2}\). Полупериметр \(s=\frac{15+5\sqrt3}{2}\), поэтому радиус вписанной окружности \(r=S/s=\frac{5\sqrt3}{3+\sqrt3}=\frac{5}{2}(\sqrt3-1)\).
3. Обозначим концы третьей стороны через P и Q, а центр вписанной окружности через I. Угол \(PIQ=90^\circ+\frac12\angle C\). Для вписанной окружности \(\sin(\angle C/2)=5/(2r_c)\), где радиус описанной окружности исходного треугольника \(r_c=c/(2\sin60^\circ)=5\). Значит \(\sin(\angle C/2)=1/2\), и \(\angle C=60^\circ\). Следовательно, \(\angle PIQ=120^\circ\).
4. Для окружности, проходящей через P, Q и I, хорда PQ длиной \(5\sqrt3\) стягивает вписанный угол 120°: \(PQ=2R\sin120^\circ\). Отсюда \(R=5\).

Ответ: R = 5.