ЗАДАНИЕ №1. Две стороны треугольника равны 3 и 4, а угол между этими сторонами равен 60°. Решите этот треугольник. (Найдите все стороны и углы треугольника.)

Обозначим неизвестную сторону через BC. По теореме косинусов:

\(BC^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos60^\circ=9+16-12=13\), поэтому \(BC=\sqrt{13}\).

По теореме косинусов для угла \(B\): \(\cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{9+13-16}{6\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\). Следовательно, \(B=\arccos\frac{1}{\sqrt{13}}\approx73.9^\circ\).

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), значит \(C=180^\circ-60^\circ-B\approx46.1^\circ\). Также \(\cos C=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{16+13-9}{8\sqrt{13}}=\frac{5}{2\sqrt{13}}\).

Ответ: \(AB=3\), \(AC=4\), \(BC=\sqrt{13}\); \(\angle A=60^\circ\), \(\angle B\approx73.9^\circ\), \(\angle C\approx46.1^\circ\). \(\cos B=\frac{1}{\sqrt{13}}\), \(\cos C=\frac{5}{2\sqrt{13}}\).