Задание 8. Решите уравнение: 1) x⁴=(x-20)² 3) x⁴=(4x-5)²

Решаем уравнение: x⁴=(x-20)²

1. Извлекаем квадратный корень из обеих частей: \(\sqrt{x^4} = \sqrt{(x - 20)^2}\)
2. Получаем: \(x^2 = |x - 20|\). Это означает, что нужно рассмотреть два случая:

• Случай 1: \(x^2 = x - 20\) \(\Rightarrow x^2 - x + 20 = 0\)
• Случай 2: \(x^2 = -(x - 20)\) \(\Rightarrow x^2 = -x + 20\) \(\Rightarrow x^2 + x - 20 = 0\)

3. Решаем уравнение \(x^2 - x + 20 = 0\): Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 - 80 = -79 < 0\). Нет действительных решений.
4. Решаем уравнение \(x^2 + x - 20 = 0\): Дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\)

• \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
• \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

Ответ: 4, -5

Решаем уравнение: x⁴=(4x-5)²

1. Извлекаем квадратный корень из обеих частей: \(\sqrt{x^4} = \sqrt{(4x - 5)^2}\)
2. Получаем: \(x^2 = |4x - 5|\). Это означает, что нужно рассмотреть два случая:

• Случай 1: \(x^2 = 4x - 5\) \(\Rightarrow x^2 - 4x + 5 = 0\)
• Случай 2: \(x^2 = -(4x - 5)\) \(\Rightarrow x^2 = -4x + 5\) \(\Rightarrow x^2 + 4x - 5 = 0\)

3. Решаем уравнение \(x^2 - 4x + 5 = 0\): Дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0\). Нет действительных решений.
4. Решаем уравнение \(x^2 + 4x - 5 = 0\): Дискриминант: \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)

• \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
• \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

Ответ: 1, -5