Задачи для самостоятельного решения. б) x² - 4x + |x-3| + 3 = 0 д) |x-3| + |2x-5| + 4x = 5|x| 3) ||3-x| - x + 1| + x = 6

Решение:

б) \(x^2 - 4x + |x-3| + 3 = 0\)

1. Рассмотрим два случая для \( |x-3| \):


2. Случай 1: \( x - 3 \ge 0 \), то есть \( x \ge 3 \). Тогда \( |x-3| = x-3 \). Уравнение примет вид: \( x^2 - 4x + (x-3) + 3 = 0 \)


3. \( x^2 - 3x = 0 \)


4. \( x(x-3) = 0 \)


5. \( x=0 \) или \( x=3 \).


6. Условию \( x \ge 3 \) удовлетворяет только \( x=3 \).


7. Случай 2: \( x - 3 < 0 \), то есть \( x < 3 \). Тогда \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \). Уравнение примет вид: \( x^2 - 4x + (3-x) + 3 = 0 \)


8. \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)


9. Решим квадратное уравнение: \( (x-2)(x-3) = 0 \).


10. \( x=2 \) или \( x=3 \).


11. Условию \( x < 3 \) удовлетворяет только \( x=2 \).

Ответ: \( x=2, x=3 \).

д) \(|x-3| + |2x-5| + 4x = 5|x|\)

1. Рассмотрим случаи, зависящие от знаков выражений под модулями: \( x-3 \), \( 2x-5 \), \( x \). Критические точки: \( x=3, x=2.5, x=0 \).


2. Интервал 1: \( x < 0 \).


3. \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \).


4. \( |2x-5| = -(2x-5) = 5-2x \).


5. \( |x| = -x \).


6. Уравнение: \( (3-x) + (5-2x) + 4x = 5(-x) \)


7. \( 8 + x = -5x \)


8. \( 6x = -8 \)


9. \( x = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \).


10. \( x = -\frac{4}{3} \) удовлетворяет условию \( x < 0 \).


11. Интервал 2: \( 0 \le x < 2.5 \).


12. \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \).


13. \( |2x-5| = -(2x-5) = 5-2x \).


14. \( |x| = x \).


15. Уравнение: \( (3-x) + (5-2x) + 4x = 5x \)


16. \( 8 + x = 5x \)


17. \( 8 = 4x \)


18. \( x = 2 \).


19. \( x = 2 \) удовлетворяет условию \( 0 \le x < 2.5 \).


20. Интервал 3: \( 2.5 \le x < 3 \).


21. \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \).


22. \( |2x-5| = 2x-5 \).


23. \( |x| = x \).


24. Уравнение: \( (3-x) + (2x-5) + 4x = 5x \)


25. \( -2 + 5x = 5x \)


26. \( -2 = 0 \) — неверно. Нет решений в этом интервале.


27. Интервал 4: \( x \ge 3 \).


28. \( |x-3| = x-3 \).


29. \( |2x-5| = 2x-5 \).


30. \( |x| = x \).


31. Уравнение: \( (x-3) + (2x-5) + 4x = 5x \)


32. \( -8 + 7x = 5x \)


33. \( 2x = 8 \)


34. \( x = 4 \).


35. \( x = 4 \) удовлетворяет условию \( x \ge 3 \).

Ответ: \( x = -\frac{4}{3}, x = 2, x = 4 \).

3) \(||3-x| - x + 1| + x = 6\)

1. Перепишем уравнение: \( ||3-x| - x + 1| = 6 - x \).


2. Из определения модуля следует, что \( 6-x \ge 0 \), то есть \( x \le 6 \).


3. Рассмотрим два случая для внешнего модуля:


4. Случай 1: \( |3-x| - x + 1 = 6 - x \)


5. \( |3-x| = 5 \).


6. Это означает, что \( 3-x = 5 \) или \( 3-x = -5 \).


7. Если \( 3-x = 5 \), то \( x = -2 \). Удовлетворяет \( x \le 6 \).


8. Если \( 3-x = -5 \), то \( x = 8 \). Не удовлетворяет \( x \le 6 \).


9. Случай 2: \( |3-x| - x + 1 = -(6 - x) \)


10. \( |3-x| - x + 1 = -6 + x \)


11. \( |3-x| = 2x - 7 \).


12. Из определения модуля следует, что \( 2x-7 \ge 0 \), то есть \( x \ge 3.5 \).


13. Рассмотрим два подслучая для \( |3-x| \).


14. Подслучай 2а: \( 3-x = 2x-7 \) (когда \( 3-x \ge 0 \), то есть \( x \le 3 \)).


15. \( 10 = 3x \)


16. \( x = \frac{10}{3} \approx 3.33 \).


17. Это значение не удовлетворяет условию \( x \le 3 \).


18. Подслучай 2б: \( -(3-x) = 2x-7 \) (когда \( 3-x < 0 \), то есть \( x > 3 \)).


19. \( x-3 = 2x-7 \)


20. \( 4 = x \).


21. \( x = 4 \) удовлетворяет условиям \( x > 3 \) и \( x \ge 3.5 \) и \( x \le 6 \).

Ответ: \( x = -2, x = 4 \).