и) |4x-|x-2|+3|=16

Решение:

1. Рассмотрим два случая для внешнего модуля:


2. Случай 1: \( 4x-|x-2|+3 = 16 \)


3. \( 4x-|x-2| = 13 \)


4. \( |x-2| = 4x-13 \).


5. Из определения модуля следует, что \( 4x-13 \ge 0 \), то есть \( x \ge 13/4 = 3.25 \).


6. Рассмотрим два подслучая для \( |x-2| \).


7. Подслучай 1а: \( x-2 = 4x-13 \) (когда \( x-2 \ge 0 \), то есть \( x \ge 2 \)).


8. \( 11 = 3x \)


9. \( x = 11/3 \approx 3.67 \).


10. \( x = 11/3 \) удовлетворяет условиям \( x \ge 2 \) и \( x \ge 3.25 \).


11. Подслучай 1б: \( -(x-2) = 4x-13 \) (когда \( x-2 < 0 \), то есть \( x < 2 \)).


12. \( -x+2 = 4x-13 \)


13. \( 15 = 5x \)


14. \( x = 3 \).


15. \( x = 3 \) не удовлетворяет условию \( x < 2 \).


16. Случай 2: \( 4x-|x-2|+3 = -16 \)


17. \( 4x-|x-2| = -19 \)


18. \( |x-2| = 4x+19 \).


19. Из определения модуля следует, что \( 4x+19 \ge 0 \), то есть \( x \ge -19/4 = -4.75 \).


20. Рассмотрим два подслучая для \( |x-2| \).


21. Подслучай 2а: \( x-2 = 4x+19 \) (когда \( x-2 \ge 0 \), то есть \( x \ge 2 \)).


22. \( -3x = 21 \)


23. \( x = -7 \).


24. \( x = -7 \) не удовлетворяет условиям \( x \ge 2 \) и \( x \ge -4.75 \).


25. Подслучай 2б: \( -(x-2) = 4x+19 \) (когда \( x-2 < 0 \), то есть \( x < 2 \)).


26. \( -x+2 = 4x+19 \)


27. \( -17 = 5x \)


28. \( x = -17/5 = -3.4 \).


29. \( x = -3.4 \) удовлетворяет условиям \( x < 2 \) и \( x \ge -4.75 \).

Ответ: \( x = 11/3, x = -3.4 \).