1. Решите уравнения a) x²+4|x-3|-7x+11 = 0 г) |2x-15| = 22-|2x+7| ж) \(\frac{|x-2|}{|x-1|-1} = 1\)

Решение:

а) \(x^2+4|x-3|-7x+11 = 0\)

1. Рассмотрим два случая для \( |x-3| \):


2. Случай 1: \( x - 3 \ge 0 \), то есть \( x \ge 3 \). Тогда \( |x-3| = x-3 \). Уравнение примет вид: \( x^2 + 4(x-3) - 7x + 11 = 0 \)


3. \( x^2 + 4x - 12 - 7x + 11 = 0 \)


4. \( x^2 - 3x - 1 = 0 \)


5. Решим квадратное уравнение: \( D = (-3)^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13 \).


6. \( x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \).


7. Так как \( \sqrt{13} \) примерно 3.6, то \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{3+3.6}{2} = 3.3 \) и \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{3-3.6}{2} = -0.3 \).


8. Условию \( x \ge 3 \) удовлетворяет только \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \).


9. Случай 2: \( x - 3 < 0 \), то есть \( x < 3 \). Тогда \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \). Уравнение примет вид: \( x^2 + 4(3-x) - 7x + 11 = 0 \)


10. \( x^2 + 12 - 4x - 7x + 11 = 0 \)


11. \( x^2 - 11x + 23 = 0 \)


12. Решим квадратное уравнение: \( D = (-11)^2 - 4(1)(23) = 121 - 92 = 29 \).


13. \( x_{3,4} = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2} \).


14. Так как \( \sqrt{29} \) примерно 5.4, то \( x_3 = \frac{11 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{11+5.4}{2} = 8.2 \) и \( x_4 = \frac{11 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{11-5.4}{2} = 2.8 \).


15. Условию \( x < 3 \) удовлетворяет только \( x_4 = \frac{11 - \sqrt{29}}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, x = \frac{11 - \sqrt{29}}{2} \).

г) \(|2x-15| = 22-|2x+7|\)

1. Перепишем уравнение: \( |2x-15| + |2x+7| = 22 \).


2. Определим критические точки, в которых выражения под модулем равны нулю: \( 2x - 15 = 0 \implies x = 7.5 \) и \( 2x + 7 = 0 \implies x = -3.5 \).


3. Рассмотрим три интервала:


4. Интервал 1: \( x < -3.5 \).


5. В этом случае \( 2x - 15 < 0 \) и \( 2x + 7 < 0 \).


6. Уравнение: \( -(2x-15) - (2x+7) = 22 \)


7. \( -2x + 15 - 2x - 7 = 22 \)


8. \( -4x + 8 = 22 \)


9. \( -4x = 14 \)


10. \( x = - \frac{14}{4} = -3.5 \).


11. Этот корень не удовлетворяет условию \( x < -3.5 \).


12. Интервал 2: \( -3.5 \le x < 7.5 \).


13. В этом случае \( 2x - 15 < 0 \) и \( 2x + 7 \ge 0 \).


14. Уравнение: \( -(2x-15) + (2x+7) = 22 \)


15. \( -2x + 15 + 2x + 7 = 22 \)


16. \( 22 = 22 \).


17. Это равенство верно для всех \( x \) из данного интервала.


18. Интервал 3: \( x \ge 7.5 \).


19. В этом случае \( 2x - 15 \ge 0 \) и \( 2x + 7 > 0 \).


20. Уравнение: \( (2x-15) + (2x+7) = 22 \)


21. \( 4x - 8 = 22 \)


22. \( 4x = 30 \)


23. \( x = \frac{30}{4} = 7.5 \).


24. Этот корень удовлетворяет условию \( x \ge 7.5 \).


25. Объединяя решения из интервалов, получаем \( -3.5 \le x \le 7.5 \).

Ответ: \( [-3.5; 7.5] \).

ж) \(\frac{|x-2|}{|x-1|-1} = 1\)

1. Перепишем уравнение: \( |x-2| = |x-1|-1 \).


2. Определим критические точки: \( x-2=0 \rightarrow x=2 \) и \( x-1=0 \rightarrow x=1 \).


3. Рассмотрим три интервала:


4. Интервал 1: \( x < 1 \).


5. \( |x-2| = -(x-2) = 2-x \).


6. \( |x-1| = -(x-1) = 1-x \).


7. Уравнение: \( 2-x = (1-x) - 1 \)


8. \( 2-x = -x \)


9. \( 2 = 0 \) — неверно. Нет решений в этом интервале.


10. Интервал 2: \( 1 \le x < 2 \).


11. \( |x-2| = -(x-2) = 2-x \).


12. \( |x-1| = x-1 \).


13. Уравнение: \( 2-x = (x-1) - 1 \)


14. \( 2-x = x-2 \)


15. \( 4 = 2x \)


16. \( x = 2 \).


17. Этот корень не принадлежит интервалу \( 1 \le x < 2 \).


18. Интервал 3: \( x \ge 2 \).


19. \( |x-2| = x-2 \).


20. \( |x-1| = x-1 \).


21. Уравнение: \( x-2 = (x-1) - 1 \)


22. \( x-2 = x-2 \)


23. \( 0 = 0 \) — верно. Решением являются все \( x \) из интервала \( x \ge 2 \).


24. Проверка знаменателя: \( |x-1|-1
    e 0 \).


25. \( |x-1|
    e 1 \).


26. \( x-1
    e 1 \) и \( x-1
    e -1 \).


27. \( x
    e 2 \) и \( x
    e 0 \).


28. Учитывая, что \( x \ge 2 \) и \( x
    e 2 \), получаем \( x > 2 \).

Ответ: \( (2; +\infty) \).