199. (Задача-исследование.) При каких значениях a и b является тождеством равенство (5x+31)/((x-5)(x+2)) = a/(x-5) + b/(x+2)?

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

Для ответа на вопрос необходимо привести правую часть к общему знаменателю и приравнять числители обеих частей, чтобы найти значения a и b.

2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)}$$

Тогда:

$$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)}$$

Приравняем числители:

$$5x + 31 = a(x+2) + b(x-5)$$ $$5x + 31 = ax + 2a + bx - 5b$$ $$5x + 31 = (a+b)x + (2a-5b)$$

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 5 \\ 2a - 5b = 31 \\ \end{cases}$$

Выразим a из первого уравнения: a = 5 - b.

Подставим во второе уравнение:

$$2(5 - b) - 5b = 31$$ $$10 - 2b - 5b = 31$$ $$-7b = 21$$ $$b = -3$$

Найдем a:

$$a = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$$

Ответ: a = 8, b = -3.