Задача 3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а основание — 12 см. Найдите высоту, проведённую к основанию, и площадь треугольника.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC = 12 см и боковыми сторонами AB = BC = 10 см. Пусть BH — высота, проведённая к основанию AC.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, AH = HC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$

$$BH = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

Теперь найдём площадь треугольника ABC:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$$

Ответ: Высота равна 8 см, площадь равна 48 см².