Задача 10. Рис. 5.10. Дано: ∠ВОС – ∠АОС = 18°, ∠АОВ = 70°. Найти: ∠АОС, ∠ВОС.

Решение:

Угол \( \angle AOB \) состоит из углов \( \angle AOC \) и \( \angle BOC \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Точка С лежит между лучами ОА и ОВ.

\( \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC \)

\( 70° = \angle AOC + \angle BOC \)

По условию: \( \angle BOC - \angle AOC = 18° \), значит \( \angle BOC = \angle AOC + 18° \).

Подставим во второе уравнение:

\( 70° = \angle AOC + (\angle AOC + 18°) \)

\( 70° = 2 \angle AOC + 18° \)

\( 2 \angle AOC = 70° - 18° \)

\( 2 \angle AOC = 52° \)

\( \angle AOC = 52° : 2 \)

\( \angle AOC = 26° \).

\( \angle BOC = \angle AOC + 18° = 26° + 18° = 44° \).

Проверка: \( 26° + 44° = 70° \). Верно.

Случай 2: Луч ОА лежит между лучами ОС и ОВ.

\( \angle BOC = \angle BOA + \angle AOC \)

\( \angle BOC = 70° + \angle AOC \).

По условию: \( \angle BOC - \angle AOC = 18° \).

Подставим во второе уравнение:

\( (70° + \angle AOC) - \angle AOC = 18° \)

\( 70° = 18° \) — неверно.

Случай 3: Луч ОВ лежит между лучами ОА и ОС.

\( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \)

\( \angle AOC = 70° + \angle BOC \).

По условию: \( \angle BOC - \angle AOC = 18° \).

Подставим во второе уравнение:

\( \angle BOC - (70° + \angle BOC) = 18° \)

\( \angle BOC - 70° - \angle BOC = 18° \)

\( -70° = 18° \) — неверно.

Ответ: ∠АОС = 26°, ∠ВОС = 44°.