5.40. y = log²-6x+9 (25-x²) 4 sin x

Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента x, при которых функция определена, то есть имеет действительное значение.

В данном случае у нас есть функция, содержащая логарифм и корень, поэтому нужно учитывать следующие условия:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

   $$ 25 - x^2 > 0 $$ $$ x^2 < 25 $$ $$ -5 < x < 5 $$

2. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:

   $$ x^2 - 6x + 9 > 0 $$ $$ (x - 3)^2 > 0 $$ Это условие выполняется при всех x, кроме x = 3. $$ x^2 - 6x + 9
   eq 1 $$ $$ x^2 - 6x + 8
   eq 0 $$ $$ (x - 2)(x - 4)
   eq 0 $$ Следовательно, $$x
   eq 2$$ и $$x
   eq 4$$.

3. Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Так как корень четвертой степени, то выражение должно быть больше либо равно нулю:

   $$ 4^{\sin x} > 0 $$ Это условие выполняется всегда, так как показательная функция всегда положительна.

Объединяя все условия, получаем:

$$ -5 < x < 5 $$, кроме x = 2, x = 3, x = 4.

Ответ: $$(-5; 2) \cup (2; 3) \cup (3; 4) \cup (4; 5)$$.