5.45. y = x³ · arsin x + cos x.

Для определения четности или нечетности функции необходимо проверить выполнение условий:

1. Функция четная, если $$f(-x) = f(x)$$ для всех $$x$$ из области определения.
2. Функция нечетная, если $$f(-x) = -f(x)$$ для всех $$x$$ из области определения.

Рассмотрим функцию $$y = x^3 \cdot \arcsin x + \cos x$$.

Найдем $$f(-x)$$:

$$f(-x) = (-x)^3 \cdot \arcsin(-x) + \cos(-x)$$

$$f(-x) = -x^3 \cdot (-\arcsin x) + \cos x$$

$$f(-x) = x^3 \cdot \arcsin x + \cos x$$

Сравним $$f(-x)$$ с $$f(x)$$:

$$f(x) = x^3 \cdot \arcsin x + \cos x$$

$$f(-x) = x^3 \cdot \arcsin x + \cos x = f(x)$$

Так как $$f(-x) = f(x)$$, данная функция является четной.

Ответ: Функция является четной.