x^2 = (√7-√8 - √7+2√6)^2

5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их:

Рассмотрим уравнение \(x^2 = (\sqrt{7}-\sqrt{8} - \sqrt{7}+2\sqrt{6})^2\).

Упростим выражение в скобках:

\(\sqrt{7}-\sqrt{8} - \sqrt{7}+2\sqrt{6} = (\sqrt{7}-\sqrt{7}) - \sqrt{8} + 2\sqrt{6} = 0 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2})\).

Подставим упрощённое значение обратно в уравнение:

\(x^2 = (2(\sqrt{6}-\sqrt{2}))^2\)

\(x^2 = 4(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2\)

\(x^2 = 4(6 - 2\sqrt{12} + 2)\)

\(x^2 = 4(8 - 2 \cdot 2\sqrt{3})\)

\(x^2 = 4(8 - 4\sqrt{3})\)

\(x^2 = 32 - 16\sqrt{3}\)

Это уравнение не имеет целых корней.

Ответ: Уравнение не имеет целых корней.