57 x-2 - 30 = 1 X+3 x²-9 6

5) Дано уравнение: $$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{30}{x^2 - 9} = \frac{1}{6}$$. Необходимо решить уравнение.

1. Заметим, что $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{30}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1}{6}$$ $$\frac{x^2 - 5x + 6 - 30}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1}{6}$$ $$\frac{x^2 - 5x - 24}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1}{6}$$
2. Умножим обе части уравнения на $$6(x + 3)(x - 3)$$: $$6(x^2 - 5x - 24) = (x + 3)(x - 3)$$ $$6x^2 - 30x - 144 = x^2 - 9$$ $$5x^2 - 30x - 135 = 0$$
3. Разделим обе части уравнения на 5: $$x^2 - 6x - 27 = 0$$
4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4(1)(-27) = 36 + 108 = 144$$ $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9$$ $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{144}}{2} = \frac{6 - 12}{2} = -3$$
5. Проверим корни. Если x = -3, то знаменатель обращается в 0, значит, x = -3 не является решением.

Ответ: x = 9