ВЗ. Решите неравенство \(\frac{3x - 1}{3 + x} \ge 0\)

Решение:

Чтобы решить дробно-рациональное неравенство, используем метод интервалов.

1. Находим корни числителя и знаменателя:

Числитель: \( 3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)

Знаменатель: \( 3 + x = 0 \Rightarrow x = -3 \)

2. Отмечаем эти точки на числовой прямой. Точка \( x = -3 \) — выколотая (знаменатель не может быть равен нулю), точка \( x = \frac{1}{3} \) — закрашенная (знак \(\ge\)).

3. Определяем знаки интервалов:

Для \( x > \frac{1}{3} \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{3(1)-1}{3+1} = \frac{2}{4} > 0 \). Ставим '+'

Для \( -3 < x < \frac{1}{3} \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{3(0)-1}{3+0} = \frac{-1}{3} < 0 \). Ставим '-'

Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( \frac{3(-4)-1}{3+(-4)} = \frac{-13}{-1} > 0 \). Ставим '+'

4. Выбираем интервалы, где знак \(\ge 0 \).

Решение неравенства: \( x < -3 \) или \( x \ge \frac{1}{3} \).

В виде промежутков: \( (-\infty; -3) \cup [\frac{1}{3}; +\infty) \).

Ответ: