ВЗ. Из вершины прямого угла С треугольника АВС вос- становлен перпендикуляр СD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки В до гипотенузы треуголь- ника, если АС = a, BC = b, CD = c. Ответ:

Пусть E - проекция точки D на гипотенузу AB. Тогда DE - искомое расстояние.

1) Рассмотрим треугольник ABC. По теореме Пифагора:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$$

2) Площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot b$$

Также площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CE = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \cdot CE$$

Следовательно:

$$\frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \cdot CE$$

$$CE = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

3) Так как CD перпендикулярна плоскости ABC, то CD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, CD перпендикулярна CE.

Тогда треугольник CDE - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$DE^2 = CD^2 + CE^2$$

$$DE = \sqrt{CD^2 + CE^2}$$

Подставим известные значения:

$$DE = \sqrt{c^2 + (\frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2} = \sqrt{c^2 + \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}} = \sqrt{\frac{c^2(a^2 + b^2) + a^2b^2}{a^2 + b^2}} = \frac{\sqrt{c^2(a^2 + b^2) + a^2b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{c^2(a^2 + b^2) + a^2b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$