ВЗ. Из вершины прямого угла С треугольника АВС восстановлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АС = a, BC = b, CD = c.

Обозначим гипотенузу треугольника ABC как AB. Пусть DE - перпендикуляр, опущенный из точки D на гипотенузу AB. Треугольник ABC - прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Рассмотрим треугольник CDB. Он также прямоугольный, так как CD перпендикулярна плоскости ABC, а значит, и BC. Тогда DB = $$\sqrt{CD^2 + BC^2} = \sqrt{c^2 + b^2}$$ Аналогично, треугольник CDA - прямоугольный, и DA = $$\sqrt{CD^2 + AC^2} = \sqrt{c^2 + a^2}$$ Площадь треугольника DAB можно найти двумя способами: 1) Как полупроизведение основания на высоту: $$S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \cdot DE$$ 2) По формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где p - полупериметр. В нашем случае: $$p = \frac{DA + DB + AB}{2} = \frac{\sqrt{c^2 + a^2} + \sqrt{c^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$ $$S_{DAB} = \sqrt{p(p - \sqrt{c^2 + a^2})(p - \sqrt{c^2 + b^2})(p - \sqrt{a^2 + b^2})}$$ Приравнивая оба выражения для площади, можно найти DE. Однако, существует более простой способ. Заметим, что площадь треугольника ABC равна $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2}ab$$ Объем тетраэдра DABC можно найти как: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot CD = \frac{1}{6}abc$$ С другой стороны, объем тетраэдра можно выразить через площадь треугольника DAB и высоту DE: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{DAB} \cdot DE$$ Приравнивая оба выражения для объема, получим: $$\frac{1}{6}abc = \frac{1}{3} \cdot S_{DAB} \cdot DE$$ Выразим площадь треугольника DAB через стороны: $$S_{DAB} = \sqrt{p(p - \sqrt{c^2 + a^2})(p - \sqrt{c^2 + b^2})(p - \sqrt{a^2 + b^2})}$$ Тогда: $$DE = \frac{abc}{2 \cdot \sqrt{p(p - \sqrt{c^2 + a^2})(p - \sqrt{c^2 + b^2})(p - \sqrt{a^2 + b^2})}}$$ Однако, есть еще один способ решения. Так как CD перпендикулярна плоскости ABC, то треугольники CDA и CDB - прямоугольные. Следовательно, можно найти площади этих треугольников: $$S_{CDA} = \frac{1}{2}ac$$ и $$S_{CDB} = \frac{1}{2}bc$$ Площадь треугольника DAB равна сумме площадей треугольников CDA и CDB. $$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \cdot DE = \frac{1}{2}ac + \frac{1}{2}bc$$ $$DE = \frac{ac + bc}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{c(a + b)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ Ответ: $$\frac{c(a + b)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$