В2. Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на расстояние, равное 16 см. Основания трапеции равны 18 см и 32 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 32 см и BC = 18 см. Точка M равноудалена от каждой стороны трапеции на расстояние 16 см. Необходимо найти расстояние от точки M до плоскости трапеции. 1. Определение проекции точки M на плоскость трапеции. Так как точка M равноудалена от всех сторон трапеции, то проекцией точки M на плоскость трапеции будет центр вписанной в трапецию окружности. Обозначим этот центр как O. 2. Нахождение радиуса вписанной окружности. Для начала найдем боковую сторону трапеции AB. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Тогда HK = BC = 18 см, и AH = KD = (AD - BC) / 2 = (32 - 18) / 2 = 14 / 2 = 7 см. В прямоугольном треугольнике ABH: AB = √(AH² + BH²) = √(7² + BH²) Трапеция является описанной, если суммы ее противоположных сторон равны: AB + CD = AD + BC. Так как трапеция равнобедренная, AB = CD, следовательно, 2AB = AD + BC = 32 + 18 = 50 см, и AB = 25 см. Теперь найдем высоту BH = √(AB² - AH²) = √(25² - 7²) = √(625 - 49) = √576 = 24 см. Радиус вписанной окружности r равен половине высоты: r = BH / 2 = 24 / 2 = 12 см. 3. Нахождение расстояния от точки M до плоскости трапеции. Расстояние от точки M до плоскости трапеции — это длина отрезка MO, где MO перпендикулярно плоскости трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой M, точкой O и точкой касания, например, стороны AB (назовем ее K). Тогда MK = 16 см (расстояние от M до стороны трапеции), OK = r = 12 см. По теореме Пифагора: MO = √(MK² - OK²) = √(16² - 12²) = √(256 - 144) = √112 = 4√7 см. Ответ: $$4\sqrt{7}$$ см.