6. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2\(\sqrt{3}\) см, радиус окружности, описанной около ее основания, 4 см. Найдите: а) апофему пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ: а) 5 см, б) 45 см²

Решение:

а) Найдем сторону основания:

• Радиус описанной окружности около правильного треугольника связан со стороной a формулой: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\, откуда \(a = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\) см.
• Центр основания пирамиды является точкой пересечения медиан (и высот) правильного треугольника. Расстояние от центра основания до стороны (r) составляет треть высоты треугольника, то есть \(r = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2\) см.
• Апофема пирамиды (l) образует прямоугольный треугольник с высотой пирамиды (h) и расстоянием r. По теореме Пифагора, \(l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4\) см.

б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

• Периметр основания: P = 3a = 3 * 4\(\sqrt{3}\) = 12\(\sqrt{3}\) см.
• Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = \frac{1}{2} Pl = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 5 = 30\sqrt{3}\) см².

Ответ: а) 5 см, б) 30\(\sqrt{3}\) см²