5. Высота правильной четырехугольной пирамиды 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если двугранный угол при основании равен 45°.

Ответ: 32 + 32\(\sqrt{2}\) см²

Решение:

• Пусть сторона основания равна a, а высота пирамиды h = 4 см. Так как двугранный угол при основании равен 45°, то высота пирамиды равна половине стороны основания: \(h = \frac{a}{2}\), откуда \(a = 2h = 2 \cdot 4 = 8\) см.
• Апофема пирамиды (l) образует прямоугольный треугольник с высотой пирамиды и половиной стороны основания. Так как угол равен 45°, то апофема равна \(l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) см.
• Площадь основания: \(S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64\) см².
• Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l = 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2}\) см².
• Площадь полной поверхности: \(S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 64 + 64\sqrt{2} = 64(1 + \sqrt{2})\) см². \(S_{полн} = 32 + 32\sqrt{2}\) см²

Ответ: 32 + 32\(\sqrt{2}\) см²