Вычислите: \(\sqrt2\cdot\sqrt{16-5\sqrt7}+\frac6{\sqrt7-1}\).

Представим подкоренное выражение как квадрат разности: \(16-5\sqrt7=(\sqrt{14}-\sqrt2)^2\), поскольку \(14+2=16\) и \(2\sqrt{28}=4\sqrt7\) — это не \(5\sqrt7\). Проверим точное представление вида \((\sqrt a-\sqrt b)^2\): требуется \(a+b=16\), \(ab=\frac{175}{4}\), дискриминант уравнения для \(a,b\) равен \(256-175=81\), поэтому \(a=\frac{25}{2}, b=\frac72\). Значит, \(\sqrt{16-5\sqrt7}=\sqrt{\frac{25}{2}}-\sqrt{\frac72}=\frac{5\sqrt2-\sqrt{14}}2\).

Первое слагаемое равно \(\sqrt2\cdot\frac{5\sqrt2-\sqrt{14}}2=5-\sqrt7\). Рационализируем второе: \(\frac6{\sqrt7-1}=\frac{6(\sqrt7+1)}{7-1}=\sqrt7+1\).

Сумма равна \(5-\sqrt7+\sqrt7+1=6\).

Ответ: 6.