Вычислите предел \(\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + 2x - 1}{3x^2 + 2x - 1}\).

Решение:

Чтобы вычислить предел рациональной дроби при \( x \to \infty \), нужно разделить числитель и знаменатель на старшую степень \( x \) в знаменателе, которая здесь равна \( x^2 \).

\(\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + 2x - 1}{3x^2 + 2x - 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}\)

\( = \lim_{x\to\infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}\)

При \( x \to \infty \), выражения вида \(\frac{c}{x^n}\) (где \( c \) — константа, \( n > 0 \)) стремятся к нулю.

\( = \frac{1 + 0 - 0}{3 + 0 - 0} \)

\( = \frac{1}{3} \)

Ответ: \(\frac{1}{3}\).