Решите простейшее тригонометрическое уравнение: \(\sin \frac{x}{6} = \frac{1}{2}\).

Решение:

Простейшее тригонометрическое уравнение \(\sin y = a\) имеет решения, если \( -1 \le a \le 1 \).

В нашем случае \( y = \frac{x}{6} \) и \( a = \frac{1}{2} \), что удовлетворяет условию.

Общее решение для \(\sin y = \frac{1}{2}\) имеет вид:

\( y = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Так как \( \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} \), то:

\( y = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \).

Теперь подставим \( y = \frac{x}{6} \):

\( \frac{x}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \).

Умножим обе части уравнения на 6:

\( x = 6 \left( (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \right) \)

\( x = (-1)^n \pi + 6\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Это решение можно разбить на два случая:

1. Если \( n \) — чётное число, т.е. \( n = 2k \) для \( k \in \mathbb{Z} \):

\( x = (-1)^{2k} \pi + 6\pi (2k) \)

\( x = \pi + 12\pi k \)

2. Если \( n \) — нечётное число, т.е. \( n = 2k + 1 \) для \( k \in \mathbb{Z} \):

\( x = (-1)^{2k+1} \pi + 6\pi (2k + 1) \)

\( x = -\pi + 12\pi k + 6\pi \)

\( x = 5\pi + 12\pi k \)

Ответ: \( x = (-1)^n \pi + 6\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).