Вычислите определенный интеграл: ∫₀¹ (5x² - x) dx

Решение:

1. Находим первообразную:

   Первообразная от $$5x^2$$ равна $$5 \times \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5 \times \frac{x^3}{3} = \frac{5x^3}{3}$$.

   Первообразная от $$-x$$ равна $$-\frac{x^{1+1}}{1+1} = -\frac{x^2}{2}$$.

   Таким образом, первообразная $$F(x) = \frac{5x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$$.

2. Вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $$F(b) - F(a)$$, где $$a=0$$ и $$b=1$$.

   $$F(1) = \frac{5(1)^3}{3} - \frac{(1)^2}{2} = \frac{5}{3} - \frac{1}{2}$$

   $$F(0) = \frac{5(0)^3}{3} - \frac{(0)^2}{2} = 0 - 0 = 0$$

   Теперь вычитаем $$F(0)$$ из $$F(1)$$: $$F(1) - F(0) = (\frac{5}{3} - \frac{1}{2}) - 0$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$\frac{5}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5 imes 2}{3 imes 2} - \frac{1 imes 3}{2 imes 3} = \frac{10}{6} - \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$$

Ответ: $$\frac{7}{6}$$