Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1. x - 2y + 4 = 0, x + 2y - 8 = 0, y = 0, x = -1, x = 6.

Решение:

Заданные линии:

1. \( x - 2y + 4 = 0 \) => \( 2y = x + 4 \) => \( y = \frac{1}{2}x + 2 \)
2. \( x + 2y - 8 = 0 \) => \( 2y = -x + 8 \) => \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \)
3. \( y = 0 \) (ось Ox)
4. \( x = -1 \)
5. \( x = 6 \)

Найдем точки пересечения линий:

1. Пересечение \( y = \frac{1}{2}x + 2 \) и \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \):

\( \frac{1}{2}x + 2 = -\frac{1}{2}x + 4 \)

\( x = 2 \)

Подставим \( x=2 \) в любое уравнение: \( y = \frac{1}{2}(2) + 2 = 3 \). Точка пересечения: \( (2, 3) \).

2. Пересечение \( y = \frac{1}{2}x + 2 \) и \( y = 0 \):

\( 0 = \frac{1}{2}x + 2 \) => \( x = -4 \).

3. Пересечение \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \) и \( y = 0 \):

\( 0 = -\frac{1}{2}x + 4 \) => \( x = 8 \).

Учитывая границы \( x = -1 \) и \( x = 6 \), а также \( y = 0 \), площадь фигуры представляет собой трапецию, ограниченную сверху двумя прямыми, а снизу осью Ox.

Найдем площадь, интегрируя разность функций от \( x = -1 \) до \( x = 6 \), но так как функции пересекаются внутри этого интервала, нужно разбить интеграл.

Интегрируем от \( x = -1 \) до \( x = 2 \) функцию \( y = \frac{1}{2}x + 2 \) и от \( x = 2 \) до \( x = 6 \) функцию \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \).

Площадь \( S = \int_{-1}^{2} (\frac{1}{2}x + 2) dx + \int_{2}^{6} (-\frac{1}{2}x + 4) dx \)

\( \int_{-1}^{2} (\frac{1}{2}x + 2) dx = [\frac{1}{4}x^2 + 2x]_{-1}^{2} = (\frac{1}{4}(2)^2 + 2(2)) - (\frac{1}{4}(-1)^2 + 2(-1)) = (1 + 4) - (\frac{1}{4} - 2) = 5 - (-\frac{7}{4}) = 5 + \frac{7}{4} = \frac{20+7}{4} = \frac{27}{4} \)

\( \int_{2}^{6} (-\frac{1}{2}x + 4) dx = [-\frac{1}{4}x^2 + 4x]_{2}^{6} = (-\frac{1}{4}(6)^2 + 4(6)) - (-\frac{1}{4}(2)^2 + 4(2)) = (-9 + 24) - (-1 + 8) = 15 - 7 = 8 \)

\( S = \frac{27}{4} + 8 = \frac{27 + 32}{4} = \frac{59}{4} = 14.75 \)

Ответ: Площадь равна \( \frac{59}{4} \) квадратных единиц.