5. 3y = x², y = x.

Решение:

Заданные линии:

1. \( 3y = x^2 \) => \( y = \frac{1}{3}x^2 \) (парабола)
2. \( y = x \) (прямая)

Найдем точки пересечения параболы и прямой:

\( \frac{1}{3}x^2 = x \)

\( \frac{1}{3}x^2 - x = 0 \)

\( x(\frac{1}{3}x - 1) = 0 \)

Отсюда \( x = 0 \) или \( \frac{1}{3}x - 1 = 0 \) => \( \frac{1}{3}x = 1 \) => \( x = 3 \).

При \( x = 0 \), \( y = 0 \). Точка пересечения: \( (0, 0) \).

При \( x = 3 \), \( y = 3 \). Точка пересечения: \( (3, 3) \).

Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = \frac{1}{3}x^2 \) и прямой \( y = x \), находится путем вычисления определенного интеграла разности функций в пределах от \( x = 0 \) до \( x = 3 \).

В интервале \( [0, 3] \) прямая \( y = x \) находится выше параболы \( y = \frac{1}{3}x^2 \) (например, при \( x=1 \), \( y=1 \) для прямой и \( y=\frac{1}{3} \) для параболы).

Площадь \( S = \int_{0}^{3} (x - \frac{1}{3}x^2) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = [\frac{x^2}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} \)

\( S = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{9}]_{0}^{3} \)

Подставим пределы интегрирования:

\( S = (\frac{3^2}{2} - \frac{3^3}{9}) - (\frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{9}) \)

\( S = (\frac{9}{2} - \frac{27}{9}) - 0 \)

\( S = \frac{9}{2} - 3 \)

\( S = \frac{9 - 6}{2} = \frac{3}{2} \)

Ответ: Площадь равна \( \frac{3}{2} \) квадратных единиц.