Все ребра правильно треугольной пирамиды равны между собой. Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.

Пусть все ребра правильной треугольной пирамиды равны (a). Рассмотрим угол между боковой гранью и плоскостью основания, обозначим его как (\alpha\). Этот угол образуется между высотой боковой грани (апофемой) и проекцией этой высоты на плоскость основания. Проекция апофемы на плоскость основания - это отрезок, соединяющий середину стороны основания с центром основания (точкой пересечения медиан). Апофема боковой грани является высотой равностороннего треугольника со стороной (a), следовательно, ее длина равна: $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Расстояние от середины стороны равностороннего треугольника до его центра равно одной трети высоты этого треугольника: $$\frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$ Теперь можем найти косинус угла (\alpha\): $$\cos(\alpha) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ Ответ: 1/3