3. Внутри треугольника АВС взята точка О, причем \(\angle BOC = \angle BOA\), AO = = OC. а) Докажите, что углы ВАС И ВСА равны. б) Докажите, что прямая ВО проходит через середину отрезка АС.

а) Докажем, что углы $$BAC$$ и $$BCA$$ равны. Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COB$$. В них $$AO=OC$$ (по условию), $$BO$$ – общая сторона, $$\angle BOC = \angle BOA$$ (по условию). Следовательно, $$\triangle AOB = \triangle COB$$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что $$\angle OAB = \angle OCB$$ и $$AB=BC$$. Тогда треугольник $$ABC$$ – равнобедренный (т.к. $$AB=BC$$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $$\angle BAC = \angle BCA$$. б) Докажем, что прямая $$BO$$ проходит через середину отрезка $$AC$$. Так как $$\triangle AOB = \triangle COB$$, то $$AO = OC$$. Это означает, что точка $$O$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$C$$. Ранее было доказано, что $$AB = BC$$, то есть точка $$B$$ также равноудалена от точек $$A$$ и $$C$$. Точки $$B$$ и $$O$$ равноудалены от концов отрезка $$AC$$, следовательно, прямая $$BO$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AC$$. Серединный перпендикуляр всегда проходит через середину отрезка. Таким образом, прямая $$BO$$ проходит через середину отрезка $$AC$$.