Вариант В2 1. Решите системы уравнений: a) { 3a + 7b - 8 = 0, a + 5b - 4 = 0; б) { 2(2x - y) + 3(2x + y) = 5(2x - y) - 2(2x + y) = 2. Катер за 3 ч по течению пр 92 км. За 5 ч по течен тер проходит на 10 кг ше, чем за 6 ч проти ния. Найдите собст скорость катера и с течения. 3. График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой, если: А(2; -1) и B(-2; -3).

Решение:

1. а) Решим систему уравнений методом подстановки:

1. Выразим \(a\) из второго уравнения: \( a = 4 - 5b \).
2. Подставим в первое уравнение: \( 3(4 - 5b) + 7b - 8 = 0 \).
3. Раскроем скобки и решим уравнение: \( 12 - 15b + 7b - 8 = 0 \) \( 4 - 8b = 0 \) \( 8b = 4 \) \( b = \frac{1}{2} \).
4. Найдем \(a\): \( a = 4 - 5(\frac{1}{2}) = 4 - \frac{5}{2} = \frac{8 - 5}{2} = \frac{3}{2} \).

1. б) Пусть \( u = 2x - y \) и \( v = 2x + y \). Система примет вид:

\( \begin{cases} 2u + 3v = \\ 5u - 2v = \end{cases} \) (В условии задачи не указаны значения правых частей уравнений, поэтому решение невозможно.)

2. Пусть \(v_{соб}\) — собственная скорость катера, а \(v_{теч}\) — скорость течения.

Скорость катера по течению: \( v_{соб} + v_{теч} \). Скорость катера против течения: \( v_{соб} - v_{теч} \).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 3(v_{соб} + v_{теч}) = 92 \\ 5(v_{соб} + v_{теч}) = 9(v_{соб} - v_{теч}) + 10 \end{cases} \)

1. Из первого уравнения: \( v_{соб} + v_{теч} = \frac{92}{3} \).
2. Раскроем скобки во втором уравнении: \( 5v_{соб} + 5v_{теч} = 9v_{соб} - 9v_{теч} + 10 \) \( 14v_{теч} - 4v_{соб} = 10 x 2 \) \( 7v_{теч} - 2v_{соб} = 5 \).
3. Выразим \( v_{соб} \) из первого уравнения: \( v_{соб} = \frac{92}{3} - v_{теч} \).
4. Подставим во второе уравнение: \( 7v_{теч} - 2(\frac{92}{3} - v_{теч}) = 5 \) \( 7v_{теч} - \frac{184}{3} + 2v_{теч} = 5 \) \( 9v_{теч} = 5 + \frac{184}{3} = \frac{15 + 184}{3} = \frac{199}{3} \) \( v_{теч} = \frac{199}{27} \) км/ч.
5. Найдем \( v_{соб} \): \( v_{соб} = \frac{92}{3} - \frac{199}{27} = \frac{92 x 9 - 199}{27} = \frac{828 - 199}{27} = \frac{629}{27} \) км/ч.

3. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки \( A(2; -1) \) и \( B(-2; -3) \).

1. Найдем угловой коэффициент \(k\): \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - (-1)}{-2 - 2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \).
2. Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \), то есть \( y = \frac{1}{2}x + b \).
3. Подставим координаты точки \( A(2; -1) \) для нахождения \(b\): \( -1 = \frac{1}{2}(2) + b \) \( -1 = 1 + b \) \( b = -2 \).
4. Уравнение прямой: \( y = \frac{1}{2}x - 2 \).

Ответ: 1. а) \( a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} \). 1. б) Решение невозможно из-за отсутствия данных. 2. Скорость течения — \(\frac{199}{27}\) км/ч, собственная скорость катера — \(\frac{629}{27}\) км/ч. 3. \( y = \frac{1}{2}x - 2 \).