Вариант В1 1. Решите системы уравнений: a) { a-3b+2 = 0, 2a-4b+1 = 0; б) { 5(x+y)-7(x-y) = 10, 4(x+y)+3(x-y) = 51. 2. Катер за 3 ч по течению и 5 ч против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 9 ч против течения. 3. График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой, если: A(4; -5) и B(-2; 19). 4. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 25, а сумма самих чисел равна 2. Найдите эти числа.

Решение:

1. а) Решим систему уравнений методом подстановки:

1. Выразим \(a\) из первого уравнения: \( a = 3b - 2 \).
2. Подставим во второе уравнение: \( 2(3b - 2) - 4b + 1 = 0 \).
3. Раскроем скобки и решим уравнение: \( 6b - 4 - 4b + 1 = 0 \) \( 2b - 3 = 0 \) \( 2b = 3 \) \( b = \frac{3}{2} \).
4. Найдем \(a\): \( a = 3(\frac{3}{2}) - 2 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{9 - 4}{2} = \frac{5}{2} \).

1. б) Пусть \( u = x + y \) и \( v = x - y \). Система примет вид:

\( \begin{cases} 5u - 7v = 10 \\ 4u + 3v = 51 \end{cases} \)

1. Умножим первое уравнение на 3, второе на 7: \( \begin{cases} 15u - 21v = 30 \\ 28u + 21v = 357 \end{cases} \)
2. Сложим уравнения: \( 43u = 387 \) \( u = 9 \).
3. Подставим \( u = 9 \) в первое уравнение: \( 5(9) - 7v = 10 \) \( 45 - 7v = 10 \) \( -7v = -35 \) \( v = 5 \).
4. Теперь решим систему для \(x\) и \(y\): \( \begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = 5 \end{cases} \)
5. Сложим уравнения: \( 2x = 14 \) \( x = 7 \).
6. Найдем \(y\): \( 7 + y = 9 \) \( y = 2 \).

2. Пусть \(v_{соб}\) — собственная скорость катера, а \(v_{теч}\) — скорость течения.

Скорость катера по течению: \( v_{соб} + v_{теч} \). Скорость катера против течения: \( v_{соб} - v_{теч} \).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 3(v_{соб} + v_{теч}) + 5(v_{соб} - v_{теч}) = 76 \\ 6(v_{соб} + v_{теч}) = 9(v_{соб} - v_{теч}) \end{cases} \)

1. Упростим уравнения: \( \begin{cases} 3v_{соб} + 3v_{теч} + 5v_{соб} - 5v_{теч} = 76 \\ 6v_{соб} + 6v_{теч} = 9v_{соб} - 9v_{теч} \end{cases} \)
2. \( \begin{cases} 8v_{соб} - 2v_{теч} = 76 x 2 \\ 3v_{соб} - 9v_{теч} = 0 x 3 \end{cases} \)
3. \( \begin{cases} 8v_{соб} - 2v_{теч} = 76 \\ 3v_{соб} - 9v_{теч} = 0 \end{cases} \)
4. Из второго уравнения: \( 3v_{соб} = 9v_{теч} \) \( v_{соб} = 3v_{теч} \).
5. Подставим в первое уравнение: \( 8(3v_{теч}) - 2v_{теч} = 76 \) \( 24v_{теч} - 2v_{теч} = 76 \) \( 22v_{теч} = 76 \) \( v_{теч} = \frac{76}{22} = \frac{38}{11} \) км/ч.
6. Найдем \( v_{соб} \): \( v_{соб} = 3 x \frac{38}{11} = \frac{114}{11} \) км/ч.

3. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки \( A(4; -5) \) и \( B(-2; 19) \).

1. Найдем угловой коэффициент \(k\): \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{19 - (-5)}{-2 - 4} = \frac{24}{-6} = -4 \).
2. Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \), то есть \( y = -4x + b \).
3. Подставим координаты точки \( A(4; -5) \) для нахождения \(b\): \( -5 = -4(4) + b \) \( -5 = -16 + b \) \( b = 11 \).
4. Уравнение прямой: \( y = -4x + 11 \).

4. Пусть \(x\) и \(y\) — натуральные числа.

По условию:

\( \begin{cases} x^2 - y^2 = 25 \\ x - y = 2 \end{cases} \)

1. Разложим первое уравнение: \( (x - y)(x + y) = 25 \).
2. Подставим \( x - y = 2 \): \( 2(x + y) = 25 \) \( x + y = \frac{25}{2} \).
3. Решим систему: \( \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = \frac{25}{2} \end{cases} \)
4. Сложим уравнения: \( 2x = 2 + \frac{25}{2} = \frac{4 + 25}{2} = \frac{29}{2} \) \( x = \frac{29}{4} \).
5. Найдем \(y\): \( y = x - 2 = \frac{29}{4} - 2 = \frac{29 - 8}{4} = \frac{21}{4} \).
6. Так как \(x\) и \(y\) должны быть натуральными числами, а мы получили дробные значения, то таких чисел не существует.

Ответ: 1. а) \( a = \frac{5}{2}, b = \frac{3}{2} \). 1. б) \( x = 7, y = 2 \). 2. Скорость течения — \(\frac{38}{11}\) км/ч, собственная скорость катера — \(\frac{114}{11}\) км/ч. 3. \( y = -4x + 11 \). 4. Таких чисел не существует.