1. a) a+b=7; 6a-3b=11 б) { 2x - y = 3, 3x - y = 5. 2. За 1 булку и 4 бублика заплатили 68 коп., а за 2 булки и 3 бублика - 76 коп. Найдите цену булки и цену бублика. 3. График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой, если: A(-5; 32) и B(3; -8). 4. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 25, а сумма этих чисел тоже равна 25. Найдите эти числа.

Решение:

1. а) Решим систему уравнений методом подстановки:

1. Выразим \(a\) из первого уравнения: \( a = 7 - b \).
2. Подставим во второе уравнение: \( 6(7 - b) - 3b = 11 \).
3. Раскроем скобки и решим уравнение: \( 42 - 6b - 3b = 11 \) \( -9b = 11 - 42 \) \( -9b = -31 \) \( b = \frac{31}{9} \).
4. Найдем \(a\): \( a = 7 - \frac{31}{9} = \frac{63 - 31}{9} = \frac{32}{9} \).

1. б) Решим систему уравнений методом подстановки:

1. Выразим \(y\) из первого уравнения: \( y = 2x - 3 \).
2. Подставим во второе уравнение: \( 3x - (2x - 3) = 5 \).
3. Раскроем скобки и решим уравнение: \( 3x - 2x + 3 = 5 \) \( x = 5 - 3 \) \( x = 2 \).
4. Найдем \(y\): \( y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \).

2. Пусть \(x\) — цена булки, а \(y\) — цена бублика.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + 4y = 68 \\ 2x + 3y = 76 \end{cases} \)

1. Умножим первое уравнение на 2: \( 2x + 8y = 136 \).
2. Вычтем из этого уравнения второе: \( (2x + 8y) - (2x + 3y) = 136 - 76 \) \( 5y = 60 \) \( y = 12 \) коп.
3. Найдем \(x\): \( x + 4(12) = 68 \) \( x + 48 = 68 \) \( x = 20 \) коп.

3. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки \( A(-5; 32) \) и \( B(3; -8) \).

1. Найдем угловой коэффициент \(k\): \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8 - 32}{3 - (-5)} = \frac{-40}{8} = -5 \).
2. Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \), то есть \( y = -5x + b \).
3. Подставим координаты точки \(A(-5; 32)\) для нахождения \(b\): \( 32 = -5(-5) + b \) \( 32 = 25 + b \) \( b = 7 \).
4. Уравнение прямой: \( y = -5x + 7 \).

4. Пусть \(x\) и \(y\) — натуральные числа.

По условию:

\( \begin{cases} x^2 - y^2 = 25 \\ x + y = 25 \end{cases} \)

1. Разложим первое уравнение: \( (x - y)(x + y) = 25 \).
2. Подставим \( x + y = 25 \): \( (x - y) x 25 = 25 \).
3. Отсюда \( x - y = 1 \).
4. Решим систему: \( \begin{cases} x + y = 25 \\ x - y = 1 \end{cases} \)
5. Сложим уравнения: \( 2x = 26 \) \( x = 13 \).
6. Найдем \(y\): \( 13 + y = 25 \) \( y = 12 \).

Ответ: 1. а) \( a = \frac{32}{9}, b = \frac{31}{9} \). 1. б) \( x = 2, y = 1 \). 2. Цена булки — 20 коп., цена бублика — 12 коп. 3. \( y = -5x + 7 \). 4. Числа 13 и 12.