Вариант А2, задача 5: Рабочий и ученик должны изготовить по 40 деталей. Рабочий выпускал за 1 ч на 3 детали больше, чем ученик, поэтому весь заказ он выполнил на 3 ч раньше. Сколько деталей выпускал за 1 ч ученик?

Решение:

1. Пусть \( x \) — скорость ученика (деталей/час).
2. Тогда скорость рабочего — \( x + 3 \) деталей/час.
3. Время ученика: \( \frac{40}{x} \) часов.
4. Время рабочего: \( \frac{40}{x+3} \) часов.
5. По условию, рабочий выполнил заказ на 3 часа раньше, то есть работал меньше: \( \frac{40}{x} - \frac{40}{x+3} = 3 \).
6. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{40(x+3) - 40x}{x(x+3)} = 3 \).
7. Упростим числитель: \( \frac{40x + 120 - 40x}{x^2 + 3x} = 3 \).
8. \( \frac{120}{x^2 + 3x} = 3 \).
9. \( 120 = 3(x^2 + 3x) \).
10. Разделим на 3: \( 40 = x^2 + 3x \).
11. Перенесем все в одну сторону: \( x^2 + 3x - 40 = 0 \).
12. Найдем дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 \). \( \sqrt{D} = 13 \).
13. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]
14. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( x = 5 \).

Ответ: Ученик выпускал 5 деталей в час.