Вариант 4. 2. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Периметр прямоугольника 180 м. Если его длину увеличить на 20 м, а ширину уменьшить на 10 м, то площадь увеличится на 100 м². Найти длину и ширину данного прямоугольника.

1. Составление модели. Пусть длина прямоугольника равна \(x\) м, ширина — \(y\) м. Из периметра следует:

\(2(x+y)=180\), значит, \(x+y=90\).

Изменённая площадь на 100 м² больше исходной:

\((x+20)(y-10)=xy+100\).

2. Решение модели. Раскроем скобки во втором равенстве:

\(xy-10x+20y-200=xy+100\),

\(-10x+20y=300\), следовательно, \(-x+2y=30\).

Из \(x+y=90\) имеем \(x=90-y\). Подставим:

\(-(90-y)+2y=30\),

\(3y=120\), поэтому \(y=40\), а \(x=90-40=50\).

3. Ответ на задачу. Проверка: исходная площадь \(50\cdot40=2000\) м²; новая площадь \((50+20)(40-10)=70\cdot30=2100\) м², увеличение составляет 100 м².

Ответ: длина — 50 м, ширина — 40 м.