Вариант 1. 4*. В треугольнике \(ABC\) точка \(O\) — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{AO}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AC}\).

Пусть \(M\) — середина \(BC\). Тогда \(\overrightarrow{AM}=\frac12(\vec a+\vec b)\). Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac23\overrightarrow{AM}\).

Подставляем выражение для \(\overrightarrow{AM}\): \(\overrightarrow{AO}=\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b)=\frac13\vec a+\frac13\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac13\vec a+\frac13\vec b\).