В2. Один из лыжников прошёл 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого лыжника, а \( v_2 \) — скорость второго лыжника.

Пусть \( t_1 \) — время первого лыжника, а \( t_2 \) — время второго лыжника.

Расстояние \( S = 20 \) км.

По условию:

• \( v_2 = v_1 + 2 \) (скорость второго на 2 км/ч больше скорости первого).
• \( t_1 = t_2 - 20 \) мин. Переведем минуты в часы: \( 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \) ч.
• \( t_1 = t_2 - \frac{1}{3} \) ч.

Из формулы \( S = v \cdot t \) выразим время: \( t = \frac{S}{v} \).

Тогда:

• \( t_1 = \frac{20}{v_1} \)
• \( t_2 = \frac{20}{v_2} = \frac{20}{v_1 + 2} \)

Подставим эти выражения в уравнение \( t_1 = t_2 - \frac{1}{3} \):

\[ \frac{20}{v_1} = \frac{20}{v_1 + 2} - \frac{1}{3} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{20}{v_1} - \frac{20}{v_1 + 2} = -\frac{1}{3} \]\[ \frac{20(v_1 + 2) - 20v_1}{v_1(v_1 + 2)} = -\frac{1}{3} \]\[ \frac{20v_1 + 40 - 20v_1}{v_1^2 + 2v_1} = -\frac{1}{3} \]\[ \frac{40}{v_1^2 + 2v_1} = -\frac{1}{3} \]

Перекрестное умножение:

\[ 40 \cdot 3 = -1 \cdot (v_1^2 + 2v_1) \]\[ 120 = -v_1^2 - 2v_1 \]\[ v_1^2 + 2v_1 + 120 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 4 - 480 = -476 \]

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Проверим условие задачи и расчеты.

Перепроверка:

Предположим, что первый лыжник шёл быстрее:

• \( v_1 = v_2 + 2 \)
• \( t_2 = t_1 - \frac{1}{3} \)

Тогда:

• \( t_1 = \frac{20}{v_1} \)
• \( t_2 = \frac{20}{v_2} = \frac{20}{v_1 - 2} \)

Подставим в \( t_2 = t_1 - \frac{1}{3} \):

\[ \frac{20}{v_1 - 2} = \frac{20}{v_1} - \frac{1}{3} \]\[ \frac{1}{3} = \frac{20}{v_1} - \frac{20}{v_1 - 2} \]\[ \frac{1}{3} = \frac{20(v_1 - 2) - 20v_1}{v_1(v_1 - 2)} \]\[ \frac{1}{3} = \frac{20v_1 - 40 - 20v_1}{v_1^2 - 2v_1} \]\[ \frac{1}{3} = \frac{-40}{v_1^2 - 2v_1} \]

Перекрестное умножение:

\[ v_1^2 - 2v_1 = -40 \cdot 3 \]\[ v_1^2 - 2v_1 = -120 \]\[ v_1^2 - 2v_1 + 120 = 0 \]

Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 4 - 480 = -476 \). Снова отрицательный.

Вернемся к первому варианту, где второй лыжник быстрее, и условию, что первый прошёл быстрее:

Пусть \( v_1 \) - скорость первого лыжника, \( v_2 \) - скорость второго. \( S = 20 \) км.

\( v_1 = v_2 + 2 \) (первый быстрее)

\( t_2 = t_1 + \frac{1}{3} \) (второй шел дольше на 20 мин)

\( t_1 = \frac{20}{v_1} = \frac{20}{v_2 + 2} \)

\( t_2 = \frac{20}{v_2} \)

Подставим в \( t_2 = t_1 + \frac{1}{3} \):

\[ \frac{20}{v_2} = \frac{20}{v_2 + 2} + \frac{1}{3} \]\[ \frac{20}{v_2} - \frac{20}{v_2 + 2} = \frac{1}{3} \]\[ \frac{20(v_2 + 2) - 20v_2}{v_2(v_2 + 2)} = \frac{1}{3} \]\[ \frac{20v_2 + 40 - 20v_2}{v_2^2 + 2v_2} = \frac{1}{3} \]\[ \frac{40}{v_2^2 + 2v_2} = \frac{1}{3} \]\[ 120 = v_2^2 + 2v_2 \]\[ v_2^2 + 2v_2 - 120 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 \]\[ v_2 = \frac{-2 \pm 22}{2} \]

\( v_{2,1} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

\( v_{2,2} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_2 = 10 \) км/ч.

Теперь найдем скорость первого лыжника:

\( v_1 = v_2 + 2 = 10 + 2 = 12 \) км/ч.

Проверим время:

\( t_1 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \) ч.

\( t_2 = \frac{20}{10} = 2 \) ч.

Разница во времени: \( t_2 - t_1 = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \) ч, что равно 20 минутам.

Ответ: Скорость одного лыжника 12 км/ч, а другого 10 км/ч.