В11 В правильной треугольной пирамиде SABC Q – середина ребра AB, S - вершина. Известно, что BC=7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка SQ.

Решение:

Правильная треугольная пирамида имеет основание — равносторонний треугольник ABC. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых треугольников: SAB, SBC, SAC.

Площадь боковой поверхности равна \( 3 \cdot S_{бок. грани} = 42 \).

Площадь одной боковой грани \( S_{бок. грани} = \frac{42}{3} = 14 \).

В правильной треугольной пирамиде высота боковой грани, проведённая из вершины S, является апофемой. В данном случае, \( SQ \) — апофема, так как Q — середина ребра основания AB, и пирамида правильная.

Площадь треугольника ABC (основания) равна \( S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a = BC = 7 \).

Площадь боковой поверхности также можно найти как \( P_{осн} \cdot h_a / 2 \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h_a \) — апофема. Апофема — это высота боковой грани, проведенная к основанию. В нашем случае, \( SQ \) — это высота боковой грани SAB, проведенная к основанию AB. Следовательно, \( SQ \) является апофемой.

Периметр основания \( P_{осн} = 3 \cdot BC = 3 \cdot 7 = 21 \).

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \frac{P_{осн} \cdot SQ}{2} \).

\( 42 = \frac{21 \cdot SQ}{2} \).

\( 84 = 21 \cdot SQ \).

\( SQ = \frac{84}{21} = 4 \).

Ответ: 4.