В треугольнике SNP известно, что SP NP, SN-21, tg S 7. Найдите длину стороны SP.

Так как треугольник SNP равнобедренный (SP = NP), углы при основании равны: ∠S = ∠N.

Найдём косинус угла S, зная тангенс:

\[tg\,S = \frac{\sqrt{7}}{3}\]

\[cos\,S = \frac{3}{\sqrt{3^2 + (\sqrt{7})^2}} = \frac{3}{\sqrt{9 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}\]

Применим теорему косинусов для стороны SN:

\[SN^2 = SP^2 + NP^2 - 2 \cdot SP \cdot NP \cdot cos\,S\]

Так как SP = NP, то:

\[SN^2 = 2SP^2 - 2SP^2 \cdot cos\,S\]

\[SN^2 = 2SP^2(1 - cos\,S)\]

\[SP^2 = \frac{SN^2}{2(1 - cos\,S)}\]

\[SP^2 = \frac{21^2}{2(1 - \frac{3}{4})} = \frac{441}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{441}{\frac{1}{2}} = 441 \cdot 2 = 882\]

\[SP = \sqrt{882} = \sqrt{49 \cdot 18} = 7\sqrt{18} = 7 \cdot 3\sqrt{2} = 21\sqrt{2}\]

Ответ: 21\(\sqrt{2}\)