4. В треугольнике MNP MN = 10 см, МР = 8 см, NP = 6 см. Найдите площадь треугольника MNP и высоту РК, проведенную к стороне ММ.

Ответ: 24 см²; 4.8 см

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Проверим, является ли треугольник MNP прямоугольным.

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для сторон треугольника MNP:

\[MN^2 = MP^2 + NP^2\] \[10^2 = 8^2 + 6^2\] \[100 = 64 + 36\] \[100 = 100\]

Так как равенство выполняется, треугольник MNP является прямоугольным, где MN - гипотенуза, а MP и NP - катеты.

• Шаг 2: Найдем площадь треугольника MNP.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot NP = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \text{ см}^2\]

• Шаг 3: Найдем высоту PK, проведенную к стороне MN.

Площадь треугольника также можно выразить как половину произведения основания на высоту. В данном случае основание - MN, а высота - PK:

\[S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot PK\]

Выразим PK:

\[PK = \frac{2S}{MN} = \frac{2 \cdot 24}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ см}\]

Ответ: 24 см²; 4.8 см