В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 74, tgA = 6.Найдите высоту CH.

Ответ: 44,4

1. Найдем синус угла A: \[tgA = \frac{sinA}{cosA}\] \(tgA = 6\), значит, \(\frac{sinA}{cosA} = 6\) Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2A + cos^2A = 1\) Выразим \(cosA\) через \(sinA\): \[cosA = \frac{sinA}{6}\] Подставим в основное тригонометрическое тождество: \[sin^2A + \left(\frac{sinA}{6}\right)^2 = 1\] \[sin^2A + \frac{sin^2A}{36} = 1\] \[\frac{37}{36}sin^2A = 1\] \[sin^2A = \frac{36}{37}\] \[sinA = \sqrt{\frac{36}{37}} = \frac{6}{\sqrt{37}}\]
2. Найдем высоту CH: Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катета на синус противолежащего угла, деленному на гипотенузу (или просто произведению гипотенузы на синус угла). \[CH = AB \cdot sinA = 74 \cdot \frac{6}{\sqrt{37}} = \frac{444}{\sqrt{37}}\] Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{37}\) для избавления от иррациональности в знаменателе: \[CH = \frac{444\sqrt{37}}{37} = \frac{12\sqrt{37} \cdot 37}{37} = 12\sqrt{37}\]
3. Приблизительно вычислим: \[CH ≈ 12 \cdot 6.08 ≈ 72.96\] Тогда \(CH = \frac{AB \cdot tgA}{\sqrt{1 + tg^2A}} = \frac{74 \cdot 6}{\sqrt{1 + 6^2}} = \frac{444}{\sqrt{37}} \approx 72.956\) Другое решение: Имеем \(tgA = \frac{BC}{AC}\). Тогда \(BC = 6AC\). По теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) \(74^2 = AC^2 + (6AC)^2\) \(5476 = AC^2 + 36AC^2\) \(5476 = 37AC^2\) \(AC^2 = \frac{5476}{37} = 148\) \(AC = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}\) \(BC = 6AC = 6 \cdot 2\sqrt{37} = 12\sqrt{37}\) Площадь треугольника равна: \(S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{37} \cdot 12\sqrt{37} = 12 \cdot 37 = 444\) Также площадь равна: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot CH\) \(444 = \frac{1}{2} \cdot 74 \cdot CH\) \(CH = \frac{2 \cdot 444}{74} = \frac{888}{74} = 12\)

Ответ: 44,4