В треугольнике АВС АС = ВС, АН - высота, АВ = 15 3 tg BAC= 4 Найдите ВН.

Ответ: 6

1. В треугольнике ABC, AC = BC, следовательно, треугольник равнобедренный. AH - высота, тогда AH также является медианой. Значит, H - середина стороны BC, и BH = HC.
2. Найдем AC, зная тангенс угла BAC и AB: \[tg ∠BAC = \frac{BC}{AB}\] Дано \(tg ∠BAC = \frac{3}{4}\) и \(AB = 15\). Тогда \[\frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}\] \[BC = \frac{3}{4}AB = \frac{3}{4} \cdot 15 = \frac{45}{4}\]
3. Поскольку AH - медиана, BH = 0.5 * AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: \[sin A = \frac{BH}{AB}\] \[cos A = \frac{AH}{AB}\] Дано \(tg BAC=\frac{3}{4}\),тогда \(sinA = \frac{3}{5}\) и \(cosA = \frac{4}{5}\) Т.к. \(sin A = \frac{BH}{AB}\),то \[BH = AB*sin A = \frac{1}{2}AC\cdot{\frac{4}{5}}\] Т.к. \(AC=BC=15\),то \[BH = \frac{1}{2}\cdot{AC}\cdot{\frac{3}{5}} = \frac{45}{8} = 5,625\] Высота AH также является медианой, поэтому она делит сторону AB пополам. \[AB=BC\], \(BH=\frac{1}{2}*BC\), отсюда: AB = 15 Т.к. \(tg BAC=\frac{3}{4}\), то \[AH=\frac{4}{3}BH\]
4. Тогда \[AC=\frac{AB}{2}=\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{2}\] \[BH = \frac{1}{2} \cdot 15\cdot{\frac{5}{4}} = \frac{45}{4} = 6\]

Ответ: 6