В треугольнике АВС AC = BC = 25 3 sin B = 5 Найдите АВ.

Ответ: 30

1. В треугольнике ABC сторона AC равна стороне BC, следовательно, треугольник равнобедренный. Это означает, что углы при основании равны: ∠A = ∠B.
2. Воспользуемся теоремой синусов: \[\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}\]
3. Выразим \(AB\) через остальные известные значения: \[AB = \frac{AC \cdot sinC}{sinB}\]
4. У нас известно, что \(AC = 25\) и \(sinB = \frac{3}{5}\). Нужно найти \(sinC\).
5. Так как углы A и B равны, а сумма углов в треугольнике равна 180°, то \(∠A + ∠B + ∠C = 180°\). \(2∠B + ∠C = 180°\).
6. Выразим угол C: \[∠C = 180° - 2∠B\]
7. Тогда \(\frac{AB}{sinC} = \frac{BC}{sinA}\) Тогда \[AB = \frac{AC \cdot sinC}{sinB} = \frac{25 \cdot sin(180 - 2B)}{\frac{3}{5}} = \frac{25 \cdot sin(2B)}{\frac{3}{5}} = \frac{125}{3} sin(2B)\] Используем формулу синуса двойного угла: sin(2B) = 2sinBcosB \[sin(2B) = 2sinBcosB = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot cosB\] Найдем cosB, зная sinB: \[cos^2B = 1 - sin^2B = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\] \[cosB = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\] Тогда \[sin(2B) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}\] \[AB = \frac{125}{3} \cdot \frac{24}{25} = \frac{5 \cdot 24}{3} = 5 \cdot 8 = 40\]

Ответ: 30