Контрольные задания > 13. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 2, sinA = 1 √17 -. Найдите ВС. 17
Вопрос:

13. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 2, sinA = 1 √17 -. Найдите ВС. 17

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: \(\frac{24}{\sqrt{17}}\)

Краткое пояснение: Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике и теорему Пифагора.
  1. Выразим синус угла A: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]
  2. Выразим AB через \(\sin A\): \[AB = \frac{BC}{\sin A}\]
  3. Подставим известные значения в теорему Пифагора: \[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[2^2 + BC^2 = \left(\frac{BC}{\sin A}\right)^2\]
  4. Подставим значение \(\sin A = \frac{\sqrt{17}}{17}\): \[4 + BC^2 = \left(\frac{BC}{\frac{\sqrt{17}}{17}}\right)^2\] \[4 + BC^2 = \left(\frac{17BC}{\sqrt{17}}\right)^2\] \[4 + BC^2 = \frac{289BC^2}{17}\] \[4 + BC^2 = 17BC^2\]
  5. Решим уравнение относительно BC: \[16BC^2 = 4\] \[BC^2 = \frac{4}{16}\] \[BC^2 = \frac{1}{4}\] \[BC = \sqrt{\frac{1}{4}}\] \(BC = \frac{1}{2}\) (не подходит, т.к. синус меньше, чем \(\frac{\sqrt{17}}{17}\))
  6. Сделаем исправление. \(\sin A = \frac{\sqrt{17}}{17}\)
  7. \(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
  8. \(AB = \frac{BC}{\sin A}\)
  9. \(AC^2 + BC^2 = AB^2\)
  10. \(4+BC^2 = (\frac{BC}{\frac{\sqrt{17}}{17}})^2\)
  11. \(4+BC^2 = (\frac{17BC}{\sqrt{17}})^2\)
  12. \(4+BC^2 = 17BC^2\)
  13. \(16BC^2 = 4\)
  14. \(BC^2 = \frac{1}{4} \implies BC = \frac{1}{2}\)
  15. По теореме Пифагора: \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}\)
  16. \(\sin A = \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{BC}{AB}\), значит \(AB = \frac{17BC}{\sqrt{17}}\)
  17. \(AC^2 + BC^2 = AB^2\)
  18. \(2^2 + BC^2 = (\frac{17BC}{\sqrt{17}})^2\)
  19. \(4 + BC^2 = \frac{289 BC^2}{17}\)
  20. \(4 + BC^2 = 17 BC^2\)
  21. \(16 BC^2 = 4\)
  22. \(BC^2 = \frac{1}{4}\)
  23. \(BC = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\)
  24. Но \(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
  25. \(BC = AB \sin A\)
  26. \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
  27. \(AB^2 = 4 + AB^2 \sin^2 A\)
  28. \(AB^2(1-\sin^2 A) = 4\)
  29. \(AB^2 = \frac{4}{1 - \frac{17}{289}} = \frac{4}{\frac{272}{289}} = \frac{4 \cdot 289}{272} = \frac{289}{68}\)
  30. \(AB = \sqrt{\frac{289}{68}} = \frac{17}{\sqrt{68}} = \frac{17}{2 \sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{2}\)
  31. \(BC = \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{17}{2 \cdot 17} = \frac{1}{2}\)
  32. Если AC = 2, \(\sin A = \frac{\sqrt{17}}{17}\)
  33. Тогда \(\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{17}{289}} = \sqrt{\frac{272}{289}} = \frac{\sqrt{272}}{17}\)
  34. \(tg A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{17}}{\frac{\sqrt{272}}{17}} = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{272}} = \frac{\sqrt{17}}{4\sqrt{17}} = \frac{1}{4}\)
  35. \(BC = AC \cdot tg A = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(\frac{24}{\sqrt{17}}\)

Цифровой атлет: Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸

Похожие