4. В треугольнике АВС точка D делит сторону ВС в отношении 2 : 3 считая от точки В. Прямая DE параллельна стороне АВ. Найдите длину отрезка DE, если АС = 30 см.

Ответ: DE = 12 см

1. Шаг 1: Определение пропорциональности отрезков

Так как DE || AB, то по теореме о пропорциональных отрезках имеем:

\[\frac{CD}{DB} = \frac{CE}{EA}\]

Из условия задачи известно, что BD : DC = 2 : 3, следовательно CD : DB = 3:2

2. Шаг 2: Определение соотношения CE и EA

Пусть CE = 3x, тогда EA = 2x.

3. Шаг 3: Определение соотношения DE и AB

Так как DE || AB, то треугольники CDE и CAB подобны. Следовательно:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{CE}{CA}\]\[\frac{DE}{AB} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}\]

4. Шаг 4: Определение AB

Обозначим AC = 30 см. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

\[\frac{CE}{EA} = \frac{CD}{DB}\]\[\frac{CE}{EA} = \frac{3}{2}\]

Следовательно, \(CA = CE + EA\) , или \(30 = CE + EA \)

Из соотношения \(\frac{CE}{EA} = \frac{3}{2}\) можно выразить CE через EA или наоборот. Пусть CE = 3x, тогда EA = 2x. Значит,

\[3x + 2x = 30\]\[5x = 30\]\[x = 6\]

CE = 3x = 3 * 6 = 18 см, EA = 2x = 2 * 6 = 12 см

5. Шаг 5: Найдем DE

Рассмотрим подобие треугольников CDE и CAB:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{CE}{AC}\]

или

\[\frac{DE}{AB} = \frac{18}{30}\]

Теперь можно найти DE:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{3}{5}\]\[DE = \frac{3}{5} AB\]

Так как \(\frac{CD}{DB} = \frac{3}{2}\), то \(\frac{CD}{CB} = \frac{3}{5}\). И, значит \(\frac{CE}{CA} = \frac{CD}{CB} = \frac{3}{5}\)

\[\frac{DE}{AB} = \frac{3}{5}\]\[DE = \frac{3}{5} AB\]

Заметим, что \(\frac{EA}{CA} = \frac{2}{5}\) . Поэтому

\[\frac{DE}{AB} = \frac{CE}{CA} = \frac{3}{5}\]\[\frac{CE}{30} = \frac{3}{5}\]\[CE = \frac{3 \cdot 30}{5} = 18\]

И

\[\frac{DE}{AB} = \frac{2}{5}\]

Поэтому

\[\frac{DE}{30} = \frac{2}{5}\]\[DE = \frac{2 \cdot 30}{5} = 12\]

Значит, DE = 12 см.

Ответ: DE = 12 см