19. В треугольнике АВС серединный перпендикуляр стороны АС пересекает сторону ВС в точке L. Найти длину стороны АС, если CL = 6, ∠BCK = 30°.

Так как серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает BC в точке L, то AL = CL = 6. Тогда треугольник ALC - равнобедренный, и \(\angle LAC = \angle LCA\). Поскольку ∠BCK = 30°, а K - точка пересечения серединного перпендикуляра и AC, то ∠LCA = 30°. Следовательно, \(\angle LAC = 30^\circ\). Тогда \(\angle ALC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). Рассмотрим треугольник ALC. Так как AL = CL = 6, то AC можно найти по теореме косинусов: \(AC^2 = AL^2 + CL^2 - 2 \cdot AL \cdot CL \cdot cos(\angle ALC)\) \(AC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot cos(120^\circ)\) \(AC^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-\frac{1}{2})\) \(AC^2 = 72 + 36 = 108\) \(AC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) Ответ: 6√3