3. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС 84 и ВС = ВМ. Найдите AH.

В треугольнике $$ABC$$ $$BM$$ - медиана, следовательно,

$$AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 84 = 42$$

Так как $$BM = BC = 42$$, то треугольник $$BMC$$ - равнобедренный, а значит,

$$\angle C = \angle BMC$$

Пусть $$\angle C = x$$, тогда $$\angle BMC = x$$

$$\angle ABM = \angle BMC - \angle A = 2x - x = x$$

Так как $$BH$$ - высота, то $$\angle BHA = 90°$$

Треугольник $$BHC$$ - прямоугольный, $$\angle HBC = 90 - x$$

Треугольник $$ABC$$:

$$x + x + 90 - x = 180$$

$$x = 45$$

Треугольник $$ACH$$ - прямоугольный, $$\angle C = 45°$$

$$\cos 45° = \frac{CH}{AC}$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{CH}{84}$$

$$CH = \frac{84 \sqrt{2}}{2} = 42 \sqrt{2}$$

$$AH = AC - CH = 84 - 42\sqrt{2} = 42(2 - \sqrt{2})$$

Ответ: $$42(2 - \sqrt{2})$$