В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, АB = 20, tg A = \frac{2\sqrt{6}}{5}. Найдите длину стороны АС.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), высота, проведенная из вершины C, является также медианой и биссектрисой. Обозначим основание высоты как H. Тогда AH = HB = \(\frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\).

В прямоугольном треугольнике AHC, тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (CH) к прилежащему катету (AH):

\[tg A = \frac{CH}{AH}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{CH}{10}\]

Выражаем CH:

\[CH = \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot 10 = 4\sqrt{6}\]

Теперь, когда известны AH и CH, можно найти AC по теореме Пифагора:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[AC^2 = 10^2 + (4\sqrt{6})^2 = 100 + 16 \cdot 6 = 100 + 96 = 196\]

Значит, \(AC = \sqrt{196} = 14\)

Ответ: 14

Проверка за 10 секунд: AC должно быть больше AH, но меньше AB.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Нужно знать свойства равнобедренного треугольника и уметь применять теорему Пифагора в комплексе.