19. В треугольнике ABC угол B равен 36°, AB = BC, AD – биссектриса. Докажите, что треугольник ABD – равнобедренный.

Дано: $$ \triangle ABC $$, $$ \angle B = 36^\circ $$, $$ AB = BC $$, AD - биссектриса.

Доказать: $$ \triangle ABD $$ - равнобедренный.

Решение:

1) В $$ \triangle ABC $$: $$ AB = BC $$, следовательно, $$ \triangle ABC $$ - равнобедренный, $$\angle A = \angle C $$.

2) Сумма углов треугольника равна 180 градусам: $$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $$. Так как $$ \angle A = \angle C $$, то $$ 2 \angle A + \angle B = 180^\circ $$.

$$ 2 \angle A + 36^\circ = 180^\circ $$

$$ 2 \angle A = 144^\circ $$

$$ \angle A = 72^\circ $$

3) AD - биссектриса, следовательно, $$\angle BAD = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ $$.

4) В $$ \triangle ABD $$: $$ \angle BAD = 36^\circ $$, $$ \angle B = 36^\circ $$, следовательно, $$ \angle BAD = \angle B $$, а значит, $$ \triangle ABD $$ - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.