В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 7.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. **Понимание условия**: У нас есть трапеция ABCD, где AB перпендикулярна BC. Окружность проходит через точки C и D и касается AB в точке E. Нам нужно найти расстояние от E до CD, зная, что AD = 14 и BC = 7. 2. **Визуализация**: Представим себе трапецию ABCD с указанными свойствами. Поскольку окружность касается AB в точке E и проходит через C и D, E должна быть точкой касания. 3. **Ключевые свойства**: - Так как AB перпендикулярна BC, угол ABC = 90 градусов. - Окружность касается AB в точке E, значит, угол между касательной AB и хордой EC равен углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны окружности (теорема об угле между касательной и хордой). 4. **Дополнительные построения**: Проведем высоту из точки C к основанию AD. Обозначим точку пересечения как F. Тогда CF перпендикулярна AD. 5. **Рассмотрим прямоугольный треугольник CFD**: - CF - высота трапеции. - CD - диагональ трапеции. - FD = AD - AF = AD - BC = 14 - 7 = 7. 6. **Окружность и точка касания**: Так как окружность проходит через точки C и D и касается AB в точке E, AE является касательной. По свойству касательной, $$AE^2 = BC \cdot AD = 7 \cdot 14 = 98$$, откуда $$AE = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$$. 7. **Нахождение высоты трапеции**: Поскольку AB перпендикулярна BC и окружность касается AB в точке E, AE также является высотой трапеции. Значит, высота трапеции равна $$7\sqrt{2}$$. 8. **Расстояние от E до CD**: Теперь нам нужно найти расстояние от точки E до прямой CD. Обозначим это расстояние как h. - Площадь трапеции можно выразить как полусумму оснований на высоту: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AE = \frac{7 + 14}{2} \cdot 7\sqrt{2} = \frac{21}{2} \cdot 7\sqrt{2} = \frac{147\sqrt{2}}{2}$$. - Также площадь трапеции можно выразить через расстояние от точки E до прямой CD и длину стороны CD. То есть, $$S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h$$. - В прямоугольном треугольнике CFD, $$CD = \sqrt{CF^2 + FD^2} = \sqrt{(7\sqrt{2})^2 + 7^2} = \sqrt{98 + 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3}$$. 9. **Вычисление h**: Теперь приравняем два выражения для площади трапеции: - $$\frac{1}{2} \cdot 7\sqrt{3} \cdot h = \frac{147\sqrt{2}}{2}$$ - $$h = \frac{147\sqrt{2}}{7\sqrt{3}} = \frac{21\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{21\sqrt{6}}{3} = 7\sqrt{6}$$ **Ответ**: Расстояние от точки E до прямой CD равно $$7\sqrt{6}$$. **Развернутый ответ для школьника**: Чтобы решить задачу, нужно хорошо представлять себе трапецию и ее свойства, а также свойства окружности, касающейся прямой. Мы использовали теорему о касательной и хорде, а также свойства прямоугольного треугольника. Сначала мы нашли высоту трапеции, затем выразили площадь трапеции двумя разными способами и, наконец, нашли расстояние от точки E до прямой CD.