В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠XBY = 28°. Запишите решение и ответ.

Решение:

Поскольку AB = AC, треугольник ABC — равнобедренный. Обозначим ∠ABC = ∠ACB = γ.

По условию AX = BX, следовательно, треугольник ABX — равнобедренный. Обозначим ∠BAX = ∠ABX = α.

По условию BX = BY, следовательно, треугольник BXY — равнобедренный. Обозначим ∠BXY = ∠BYX.

Также по условию AX = BX = BY.

В треугольнике ABX: ∠AXB = 180° - 2α.

Угол AXB и угол BXY — смежные, поэтому ∠AXB + ∠BXY = 180°.

180° - 2α + ∠BXY = 180° => ∠BXY = 2α.

Так как треугольник BXY равнобедренный, ∠BYX = ∠BXY = 2α.

В треугольнике BXY: ∠XBY + ∠BXY + ∠BYX = 180°.

28° + 2α + 2α = 180°

4α = 180° - 28°

4α = 152°

α = 38°.

Значит, ∠BAC = ∠BAX = α = 38°.

В равнобедренном треугольнике ABC:

∠ABC = ∠ACB = γ = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 38°) / 2 = 142° / 2 = 71°.

Угол CBY = ∠ABC - ∠ABX - ∠XBY

Угол CBY = γ - α - 28°

Угол CBY = 71° - 38° - 28° = 5°.

Ответ: 5