Найдите все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Решение:

Пусть искомое трехзначное число имеет вид \(100a + 10b + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — цифры, причем \(a ∈ [1, 9]\), а \(b, c ∈ [0, 9]\).

По условию задачи:

\(100a + 10b + c = 12(a + b + c)\)

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

\(100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c\)

\(100a - 12a + 10b - 12b + c - 12c = 0\)

\(88a - 2b - 11c = 0\)

\(88a = 2b + 11c\)

Теперь будем перебирать возможные значения для \(a\) от 1 до 9.

• Если a = 1:

\(88 = 2b + 11c\)

Так как \(b ∈ [0, 9]\), то \(2b ∈ [0, 18]\).

\(11c = 88 - 2b\)

Значение \(11c\) должно быть в диапазоне \([88 - 18, 88 - 0]\), то есть \([70, 88]\).

Подходящее значение для \(11c\) из этого диапазона, которое делится на 11, — это \(77\).

\(11c = 77 \implies c = 7\).

\(2b = 88 - 77 \implies 2b = 11\). \(b = 5.5\), что не является целым числом, значит, \(a=1\) не подходит.

Следующее возможное значение для \(11c\) — \(88\).

\(11c = 88 → c = 8\).

\(2b = 88 - 88 → 2b = 0 → b = 0\).

Проверяем: \(a=1, b=0, c=8\). Число: 108. Сумма цифр: 1+0+8 = 9. \(12 * 9 = 108\). Подходит.

• Если a = 2:

\(88 * 2 = 176 = 2b + 11c\)

\(11c = 176 - 2b\)

\(11c ∈ [176 - 18, 176 - 0]\), то есть \([158, 176]\).

Нет значения \(11c\) в этом диапазоне, которое делится на 11.

• Если a = 3:

\(88 * 3 = 264 = 2b + 11c\)

\(11c = 264 - 2b\)

\(11c ∈ [264 - 18, 264 - 0]\), то есть \([246, 264]\).

Нет значения \(11c\) в этом диапазоне, которое делится на 11.

Заметим, что \(2b ∈ [0, 18]\) и \(11c ∈ [0, 99]\). Максимальное значение \(2b + 11c\) равно \(18 + 99 = 117\).

Значит, \(88a ∈ [0, 117]\).

Так как \(a ∈ [1, 9]\), то \(88a\) может быть только \(88\) (при \(a=1\)) или \(88\) (при \(a=1\)).

Таким образом, единственное возможное значение \(a\) — это 1.

Мы уже нашли, что при \(a=1\) получается число 108.

Ответ: 108