Найдите все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Решение:

Пусть трехзначное число имеет вид 100a + 10b + c, где a, b, c — цифры, причем a ≠ 0.

По условию задачи:

100a + 10b + c = 12 * (a + b + c)

Раскроем скобки и упростим:

100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c

88a = 2b + 11c

Теперь будем подставлять возможные значения для 'a' (от 1 до 9) и проверять, существуют ли такие 'b' и 'c' (от 0 до 9).

• Если a = 1: 88 = 2b + 11c.
• Если c = 8, то 2b = 88 - 11*8 = 88 - 88 = 0, значит b = 0. Получаем число 108. Проверка: 108 = 12 * (1 + 0 + 8) = 12 * 9 = 108. Верно.
• Если c = 7, то 2b = 88 - 11*7 = 88 - 77 = 11. Нет целого решения для b.
• Если c = 6, то 2b = 88 - 11*6 = 88 - 66 = 22, значит b = 11. Не подходит, так как b - цифра.
• Если a = 2: 88*2 = 176 = 2b + 11c.
• Максимальное значение 11c (при c=9) = 99. Тогда 2b = 176 - 99 = 77. Нет целого решения для b.
• Минимальное значение 11c (при c=0) = 0. Тогда 2b = 176. b = 88. Не подходит.

При больших значениях 'a' значение 88a будет еще больше, и при этом максимальное значение 2b + 11c (при b=9, c=9) равно 2*9 + 11*9 = 18 + 99 = 117. Значит, при a > 1 решений нет.

Ответ: 108